الهرم والمخروط الدوراني

تعريف الهرم

هو شكل هندسي مجسم بأوجه مثلثة تتلاقى في نقطة معينة قاعدته مضلعة الشكل ومستوية يحدها ثلاثة أوجه أو أكثر

ففي أي هرم تتساوى عدد الأوجه مع عدد جوانب القاعدة
وفي الهرم المنتظم تكون جميع الأوجه متطابقة أي تتساوى حجما وشكلا
أو

الهرم عبارة عن قاعدة مربعة الشكل وأوجهه مثلثات متساوية الساقين ، ولو أردنا تعريف الهرم القائم ، لقلنا إنه عبارة عن شكل له قاعدة منتظمة وله أوجه جانبية عبارة عن مثلثات متساوية الساقين عددها عدد أضلاع القاعدة وتلتقي رؤوسها في نقطة واحدة هي رأس الهرم ، يسمى ارتفاع المثلث المتساوي الساقين بالارتفاع الجانبي للهرم أما ارتفاع الهرم فهو الخط العمودي النازل من رأسه على قاعدته .

وهناك هرم ثلاثي وسداسي والذي يحدد نوع الهرم هو عدد أضلاع قاعدته.

المساحة الجانبية للهرم عبارة عن مثلثات أي أن المساحة الجانبية للهرم = عدد المثلثات × مساحة المثلث

حيث أن عدد المثلثات هو نفسه عدد أضلاع القاعدة .

أي أنّ: المساحة الجانبية للهرم = مجموع مساحة المثلثات التي هي أوجه الهرم

لكن قواعد هذه المثلثات ليست سوى أضلاع قاعدته .

أمثلة :

1.هرم رباعي قائم مساحة أحد أوجهه 20 سم2، فما مساحته الجانبية ؟

الحل :

الأوجه هنا 4 مثلثات متطابقة، وبما أن مساحة الواحدة منها = 20 سم2 إذن:

مساحة الهرم الجانبية = مساحة أحد الأوجه × عدد الأوجه

= 20 × 4 = 80 سم2 .

الهرم المنتظم:

هو هرم قائم جميع أحرفه متساوية ( ومعنى قائم أن قاعدته مضلع منتظم وارتفاعه يمر بمركز القاعدة

الهندسي)

وتوجد مثل هذه الأهرامات في مصر التي تنتمي الى معجزات الأرض السبعة

المخروط

المخروط هو مجسم له قاعدة دائرية واحدة وراس واحد

, المخروط هو مجسم ينتج من توصيل جميع نقاط منحنى مغلق بنقطة لا تنتمي إليه , ويسمى المنحنى الخط الدليلي والنقطة بـرأس المخروط ويسمى كل مستقيم يوصلة بين الخط الدليلي والرأس بـراسم المخروط, ويعرف أيضا بأنه هو المجسم الناتج من تدوير مثلث قائم الزاوية حول أحد ضلعيالزاوية القائمة دورة كاملة. عندما يكون الخط الدليلي دائرة ، يسمى المخروط مخروط دائري. وعندما تكون جميع الرواسم متساوية في الطول يسمى المخروط الدائري القائم. وإذا قطعنا المخروط الدائري القائم بمستوى لا يشمل رأسه، فإن المقطع الناتج يسمى القطع المخروطي.

وارتفاع المخروط هو المستقيمالعمودي من قمة رأس المخروط إلى القاعدة, ويسمى أيضا طول المخروط.
إذا قيل مخروط بلا إضافات فإنه يكون المخروط الدائري.

يقع مركز ثقل المخروط ذو الكثافة المتجانسة على المحور, عند ربع المسافة من مركز ثقل القاعدة باتجاه القمة

السطح المخروطي:
السطح المخروطي يتولد من حركة مستقيم مار بنقطة ثابتة وقاطع محنى مستوى معلوم. فالمنحنى هو محيط قاعدة المخروط والمستقيم يسمى راسم السطح المخروطي ويسمى في أ وضع راسم وإن كان المنحنى دائرة قيل مخروط دائري وكذلك المخروط حالة خاصة من الهرم قاعدته دائرة وإذا مر الارتفاع
بمركز القاعدة قيل مخروط دائري قائم، ومقطع المخروط الناشئ من قطعه بمستوى يمر برأسه والقاعدة

هو مثلث متساوي الساقين وإذا قطع المخروط بمستوى يوازي القاعدة نشأ المخروط الدائري المتوازي
القاعدتين،
كما ينشأ المخروط الناقص الدائري القائم من دوران شبه منحرف قائم حول ارتفاعه دورة كاملة.

كما يتولد المخروط الدائري القائم من دوران مثلث قائم حوا أحد ضلعي القائمة.

التمثيل بالمنظور المتساوي القياس:

يجب حفظ التوازي و المنتصفات و حفظ الاستقامية خاصة

حفظ نسبة طولي قطعتين متوازيتين

حجم المخروط :

اذا كان هنالك مخروط واسطوانة لهما نفس القاعدة او نفس مساحة القاعدة ونفس الارتفاع فان حجم المخروط يساوي ثلث حجم الاسطوانة.اي:
حجم المخروط=حجم الاسطوانة*3/1.

وحجم الاسطوانة=(ارتفاع الاسطوانة*مساحة قاعدة الاسطوانة).
اي حجم المخروط=(ارتفاع الاسطوانة التي تحويه* مساحة قاعدتها)*3/1.
ان ارتفاع الاسطوانة لارتفاع المخروط التي تحويه وقاعدة الاسطوانة مطابقة لقاعدة المخروط لذلك ينتج ان:
حجم المخروط=ارتفاع المخروط* مساحة قاعدة المخروط *3/1.
مساحة المخروط
ولإيجاد مساحة القاعدة نستعمل مساحة الدائرة التي تساوي πr² ,ونرى ان ايجاد مساحة القاعدة يعتمد على أيجاد نصف قطرها.
ان طول قوس قطاع الدائرة الناتج عن فرش المخروط يمثل محيط القاعدة, وبما ان القاعدة دائرية نستطيع تطبيق قانون محيط الدائرة عليها, إلا وهو محيط الدائرة= 2πr. الان لنقوم بمعادلة بسيطة:

محيط القاعدة=طول قوس القطاع.
2πr=طول قوس القطاع.
نجد نصف قطر القاعدة.
2π/طول القوس=r
مساحة القاعدة=πr².لنعوض في r :
مساحة القاعدة=²(2π/طول القطر)π.
بعد ان وجدنا المساحة الجانبية ومساحة القاعدة نستطيع حساب المساحة الكلية.